Quatrième année: algèbre

Programme

Vous trouverez sur cette page et les sous-pages associées tous les films à regarder chaque semaine pour préparer le cours. Ces films sont complétés par un polycopié et les explications de l’enseignant. De plus ils se basent sur les chapitres d’algèbre et d’algèbre linéaire des années 1, 2 et 3 du cours Euler et ne reflètent donc en aucun cas un cours « self-contained ». Il est important de revoir en particulier les notions étudiées en 3ème année pour pouvoir suivre le rythme soutenu de ce module. 

Semaine 1, théorie des groupes

Film 1: rappels

Ce film d’une vingtaine de minutes donne les définitions de groupe et de sous-groupe, ainsi que des exemples: entiers modulo n, groupes d’isométries, qui font le lien avec des chapitres plus anciens du cours Euler.

Film 2: Homomorphismes de groupes

On introduit ici la notion d’homomorphisme, une application entre deux groupes compatible avec la structure de groupe. On y montre quelques propriétés élémentaires et on étudie des exemples, en particulier pour des groupes de congruence modulaire.

Film 3: Groupes symétriques

Les groupes symétriques vont jouer un rôle important, en particulier dans le chapitre sur les déterminants. Nous apprenons ici à représenter les éléments de ces groupes et à les composer.

Film 4: la signature

La signature d’une permutation est égale à 1 ou -1, selon sa « parité ». Notre but est de construire un homomorphisme de groupes vers le groupe multiplicatif {1, -1} dont le noyau est le sous-groupe des permutations paires.