Semaine 7

Cours 7: Critère de diagonalisation

 

Dans ce dernier cours nous verrons deux critères de diagonalisation, un critère de triangularisation, et une manière de choisir une base qui simplifie toujours la matrice de l’application linéaire étudiée, que la matrice soit triangularisable, diagonalisable, ou non. Le principe est basé sur la notion de décomposition en sous-espaces invariants. Un beau cours!

Film 1: Critère de triangularisation

En 13 minutes nous rappelons comment s’y prendre pour diagonaliser une matrice (si c’est possible!), démontrons le critère de triangularisation et l’illustrons par un exemple.

Film 2: Critère de diagonalisation

Environ 8 minutes nous suffisent pour démontrer le critère de diagonalisation, qui décrit précisément sous quelles conditions une matrice est diagonalisable. C’est grâce aux préparatifs conséquents du cours 6 qu’il est possible de le faire si rapidement, avec exemple!

Film 3: Le Théorème de Cayley-Hamilton

Le sujet de ce film de 10 petites minutes est le Théorème de Cayley-Hamilton: le polynôme caractéristique de A annule cette matrice A.

Film 4: Le polynôme minimal

Dans ce film de 13 minutes nous partons du Théorème de Cayley-Hamilton pour parler de polynôme annulateur et définir la notion de polynôme minimal, grosso modo le « plus petit polynôme non nul qui annule la matrice qui nous intéresse ».

Film 5: Sous-espaces invariants

Un grand film de 19 minutes pour introduire la notion de sous-espace invariant (par une application linéaire) et une méthode basée sur le Théorème de Bézout pour calculer de tels sous-espaces comme certains noyaux en relation étroite avec les espaces propres.

Film 6: La décomposition primaire

Un dernier film de 16 minutes et déjà nous aurons terminé ce cours d’algèbre linéaire I. Nous y verrons la meilleure décomposition invariante, à savoir la décomposition primaire. Elle est basée sur la factorisation du polynôme minimal et nous en profitons pour démontrer un deuxième critère de diagonalisation (le premier était centré sur le polynôme caractéristique). Nous terminons avec un exemple qui laisse la porte grande ouverte vers le cours d’algèbre linéaire et les blocs de Jordan.