Semaine 5

Semaine 5: Rappels et approfondissements

Cette semaine le cours reprend des notions déjà vues en troisième année, en commençant avec la notion de linéarité et en terminant avec le Théorème du rang.

Film 1: applications linéaires

Un film de 12 minutes pour rappeler la notion de linéarité, donner des exemples, puis étudier le comportement par rapport à la composition et enfin images et préimages de sous-espaces vectoriels.

Film 2: combinaisons linéaires de vecteurs

Un deuxième film de 12 minutes avec un exemple d’application linéaire pour commencer. L’idée de ce cours est aussi d’apprivoiser petit à petit d’autres espaces vectoriels que Rn.  On parle de combinaisons linéaires de vecteurs dans le reste du film et quand on dit « vecteurs » on pense à la notion abstraite de vecteur, c’est-à-dire aux éléments d’un espace vectoriel. Il peut donc s’agir de matrices, de polynômes, de fonctions, etc.

Film 3: la dimension

Un film de 8 minutes pour étudier les parties libres, la notion de base et celle de dimension. Nous verrons en particulier que tout K-espace vectoriel de dimension n est isomorphe à Kn. On peut donc identifier un espace vectoriel à un espace vectoriel bien connu grâce au choix d’une base.

Film 4: somme et somme directe

Dans ce film de 10 minutes nous obtenons une formule pour la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels, parlons de somme directe (lorsque les deux sous-espaces sont d’intersection nulle) et de la notion de supplémentaire. La dimension d’un supplémentaire d’un sous-espace V de U s’appelle la codimension de V dans U. On termine avec un exemple.

Film 5: le Théorème du rang

Un film de 8 minutes pour le Théorème du rang et ses conséquences, avec exemples!

Film 6: matrice d’une application linéaire

Et enfin un film de 9 minutes pour la définition de la matrice d’une application linéaire. Et quand on dit « la » matrice on sous-entend que l’on a déjà fait des choix: celui d’une base de l’espace vectoriel de départ et celui d’une base de l’espace vectoriel d’arrivée. Un exemple un peu exotique illustre cela.