Première année: retour à la géométrie

Serie35 du 19 juin

Exercice 1. Pour montrer ces critères de similitude particuliers, il ne s’agit pas de faire de longues démonstrations, mais de se ramener bien sûr à l’un des trois cas de similitude que nous supposons connus (même si vous les démontrez plus bas, exercice 4).

Exercice 3. Exercice qui vous rappellera le test pour ceux qui ont eu de la peine à construire la racine de 5…

Exercice 5. On demande de résoudre cet exercice géométriquement, mais comme nous l’avons vu en classe une solution algébrique est possible dès lors qu’on réalise que le centre D de cette homothétie se trouve sur la droite OI, sur la demi-droite d’extrémité I qui ne contient pas O. J’utilise la notation avec des valeurs absolues pour indiquer la distance entre deux points pour la suite.

En effet la première homothétie de centre O et de rapport 2 envoie D sur un point E tel que |OE| = 2|OD|, la seconde doit renvoyer E sur D mais son rapport étant 1/3 on a 3 |ID| = |IE|.

Or |OE| = |OI| + |IE| et |OD|=|OI| + |ID|. La première égalité devient alors

|OI| + |IE| = 2 (|OI| + |ID|)

Mais en remplaçant |IE| par 3 |ID| on arrive finalement à l’équation

|OI| + 3 |ID| = 2 |OI| + 2 |ID|

si bien que |ID| = |OI|. Le point D se trouve à la même distance de I que O. Ta construction géométrique est-elle précise?

Exercice 8. Il ne faut pas être trop ambitieux et résoudre le problème un pas après l’autre. Supposons par exemple que les rapports indiqués sont égaux, c’est notre hypothèse, et essayons de démontrer que la droite AP est la bissectrice de l’angle en A. L’indication nous propose de tracer la droite parallèle à AC par B, qui coupe AP en un point D. Le fait d’avoir tracé cette parallèle vous fait immédiatement penser au Théorème de Thalès et vous trouvez alors deux triangles semblables. Ces triangles déterminent donc des paires de côtés dont les rapports sont égaux! Pour terminer la preuve il s’agit alors de jouer un peu avec ces rapports et de découvrir un triangle isocèle…

Exercice 10. Tu peux éventuellement t’inspirer des calculs d’Archimède que nous parcourerons en fin de cours la semaine prochaine, voir page 104 du fascicule…

Mini-Série 34 du 12 juin

Exercice 3. Pour ces rapports qui ne sont pas rationnels, il faudra d’abord réussir à construire un segment de la longueur donnée! Nous avons mentionné en classe le Théorème de Pythagore qui permet de construire à la règle et au compas des segments de longueur racine de 2 (et aussi racine de 5!).

Cours 35 du 12 juin

Nous démontrons dans ce film le Théorème de Thalès. A revoir si la démonstration faite en classe n’a pas été bien comprise, car ce théorème est très important pour la suite. J’aimerais aussi que vous ayez bien en tête les définitions de similitude et d’homothétie pour que nous puissions étudier les propriétés de ces transformations géométriques.

Serie33 du 31 mai

Exercice 1. Avant d’expliquer comment on construit le point cherché, il vaut la peine d’écrire algébriquement les conditions étudiées. Dans le cas du périmètre par exemple, on cherche un point tel que

AB+ BM+ MA= AC+ CM+ MA.

Simplifie cette égalité et déduis-en une propriété géométrique du point M!

Exercice 4. Pour commencer il faut se demander si l’aire de la surface colorée dépend de la position du carré mobile. Pense à faire un découpage pour ramener le problème à l’étude d’un carré dont les côtés sont parallèles à ceux du carré fixe. Pour cela il faut supposer que la longueur du côté du carré mobile est plus longue que la moitié de la diagonale du carré fixe! C’est le cas sur la figure et nous supposerons donc que nous sommes dans cette situation. Appelons la longueur du côté du carré fixe. Quelle est l’aire de la surface colorée, exprimée en fonction de a?

Exercice 5. Si le triangle équilatéral a pour sommets A, B et C et que le piquet est placé en un point P, découpe-le en trois triangles ayant tous P comme sommet. Calcule ensuite l’aire du triangle ABC comme somme des aires de ces trois triangles. La somme des longueurs des trois fils va apparaître et t’aidera à résoudre le problème!

Exercice 6. Considérons le cas où le pied de la hauteur H se trouve en dehors du segment [BC], disons plus près de B que de C. L’idée est de considérer les triangles HAB et HAC qui sont rectangles et pour lesquels le cas démontré en cours s’applique. Je vais noter |HA| la longueur du segment [HA] ici. On utilise ensuite les axiomes de l’aire pour justifier soigneusement que

  1. l’aire de HAC est égale à la somme des aires de HAB et ABC (axiome de découpage)
  2. la hauteur issue de A est la même pour les trois triangles (car les bases sont toutes trois supportées par BC); appelons h la longueur de cette hauteur
  3. Aire(ABC) = Aire(HAC) – Aire(HAB) par 1
  4. on applique la formule connue pour les triangles rectangles et alors Aire(ABC) = 1/2(h•|HC| – h•|HB|)
  5. par mise en évidence Aire(ABC) = h/2(HC| – |HB|) = h/2•|BC| puisque B se trouve entre H et C (axiome de distance (D4))

Nous avons terminé la démonstration. Un croquis sera utile pour le correcteur pour visualiser les triangles et comprendre les notations.

Exercice 9. Pour chaque problème, commence par écrire une équation qui traduit le problème géométrique pour trouver la ou les valeurs de la coordonnée inconnue x. Par exemple pour le premier problème on constate que puisque les points B et C ont la même abscisse, ils se trouvent sur la même droite verticale x=-2.  Ainsi la hauteur issue de A sera de longueur 6. Puisque la base de ce triangle mesure

|BC| = |5-x|

on en conclut que l’équation |5-x| .6/2 = 24doit être vérifiée. Que vaut x? Attention aux valeurs absolues!

Exercice 10. Pour ces constructions il sera utile d’appliquer notre stratégie de supposer que le problème est résolu, c’est-à-dire de faire un croquis de la figure à construire (une figure d’étude) et de se demander quelles informations on connaît et ce qu’on aimerait trouver pour pouvoir effectuer la construction. A vos feuilles de brouillon!

Exercice 13. Relis la marche à suivre du cours pour ce problème, attention à l’ordre des points!

Exercice 14. Relis la méthode du cours pour les rapports qui ne sont pas entiers. Souviens-toi aussi de ne pas aller trop vite et de ne pas croire qu’il suffit de couper un intervalle en 4 si le rapport de section vaut un quart…

Cours 34 du 5 juin

Il n’y a pas de vidéo cette semaine. J’aimerais que vous relisiez les pages 71-73 du fascicule, c’est-à-dire le début du chapitre 7. Il s’agit donc de bien connaître ce que nous avons déjà vu ensemble en cours:

  • la définition de segment orienté
  • la définition de section
  • la définition du rapport de section
  • l’énoncé de la proposition 1.7 (réfléchissez à ce que signifie que le rapport de section détermine une certaine bijection

Serie32 du 29 mai

Exercice 2. L’idée est que les portes des enclos se touchent sans se chevaucher. Démontre que les points de contact des portes se trouvent en fait sur le cercle inscrit, ce sont donc les points de tangence des côtés du triangle avec le cercle inscrit.

Ce que je vous propose d’étudier est la situation suivante. Considérons le triangle PQR et le centre O du cercle inscrit. Appelons A, B, C les points de tangence sur les côtés PQ, PR et QR. Les segments OA, OB et OC sont alors isométriques et perpendiculaires aux côtés PQ, PR et QR du triangle. Tu devrais pouvoir conclure que les points A, B, C déterminent une manière de partager chaque côté du triangle en deux de sorte à résoudre de manière optimale le problèmes des portails. L’idée est que les segments OA, OB et OC sont tangents aux cercles de centre P, Q, R et de rayon PA, QC et RB respectivement. Il faut donc démontrer que les segments PA et PB sont isométriques! Et de même pour les segments QA, QC; et enfin pour RB et RC.

La conclusion est donc que le paysan doit tracer les bissectrices (ou deux en tout cas), trouver le centre du cercle inscrit, tracer ce cercle et déterminer les points A, B, C pour pouvoir ensuite construire des portails idéaux! Ceci permet de construire géométriquement la solution. Pour trouver la solution dans le cas proposé, on pourra ensuite résoudre quelques équations.

Exercice 3. Pense à distinguer le cas des angles aigus et celui des angles obtus! Il y a parfois une meilleure solution que de faire passer un cercle par les trois sommets du triangle pour couvrir la déchirure.

Exercice 5. Mais comme c’est agréable, c’est le lemme démontré dans le film sur le barycentre!

Exercice 12. Lorsqu’on dit qu’on « projette orthogonalement » un point sur une droite, cela veut dire qu’on construit la droite passant par ce point et perpendiculaire à la droite. La projection est l’intersection de ces deux droites. Pour résoudre ce problème, il vaut la peine de changer le point de vue et au lieu de minimiser la distance entre I et J, se rendre compte que cela revient au même de minimiser la distance entre A et M. L’avais-tu déjà vu? Bravo!

Cours 33 du 30 mai

La vidéo de cette semaine concerne la notion d’aire et ne dure que 8 petits minutes. Elle accompagne les pages 61-63, que nous avons déjà parcourues rapidement et sur lesquelles nous ne reviendrons que rapidement en classe. Prenez des notes aux endroits prévus dans le fascicule!

MiniSerie31 du 22 mai

Exercice 7. Polygones circonscriptibles. Pour les trois polygones simples je vous propose de prolonger certains côtés du polygone pour former un triangle. Le cercle inscrit au polygone, s’il existe!, devra nécessairement être un cercle inscrit de ce triangle. Pour le premier polygone il faut adapter un peu cette méthode, même si la réponse est probablement évidente?

Exercice 10.Voici les réponses du Vrai/Faux

1. Vrai 2. Vrai 3. Faux 4. Faux 5. Vrai 6. Faux 7. Vrai 8. Faux 9. Faux 10. Vrai 11. Faux 12. Faux 13. Faux 14. Faux 15. Vrai 16. Faux 17. Vrai 18. Faux 19. Faux 20. Vrai

Il faut impérativement justifier ses réponses, comme nous l’avons fait en classe. Souvent un contre-exemple permet de montrer qu’une affirmation est fausse, c’est le cas de la question 14 où il suffit de dessiner un cerf-volant dont les angles isométriques ne sont pas droits. Pour prouver qu’une affirmation est vraie une petite explication permet de montrer au correcteur que vous avez compris. C’est le cas de la question 20 où il faut utiliser le fait que le lieu géométrique des points desquels on voit un segment sous un angle de 45 degrés (respectivement 90) est un double arc capable (respectivement le cercle de Thalès) et on parle donc ici de la région comprise entre ces deux lieux. Il s’agit bien d’une double lunule!

Cours 32 du 22 mai

Le film de cette semaine concerne le Théorème de l’angle inscrit, il est à regarder en complétant les pages 51 (ajouter sur l’illustration les constructions effectuées, minutes 0′-2′), 52 et 53 (jusqu’à la minute 5’30 » pour le haut de la page pour le cas où le centre O se trouve sur SB). La fin du film concerne le cas qui n’est pas présent dans vos fascicules, nous ferons ensemble le dernier cas et rédigerons cela au pas de la page 53. Ce n’est pas difficile, je pense que la preuve vous plaira!

Serie30 du 15 mai

Exercice 3. En joignant les milieux des côtés d’un quadrilatère convexe, on forme un nouveau quadrilatère. Pour illustrer cela, regardons le cas du rectangle. Nous devons construire les milieux E, F, G et H de chacun des côtés du rectangle et les relier entre eux, comme sur la figure suivante:

Le quadrilatère EFGH est un … losange! Pourquoi? Relis la définition d’un losange et explique pourquoi les diagonales de EFGH sont des axes de symétrie de ce quadrilatère.

Exercice 8, partie 2 et 3. Pour comprendre où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC rectangle en A, je vous propose de construire le symétrique de ce triangle par rapport au milieu M de l’hypoténuse (il s’agit d’une symétrie centrale!). En observant attentivement cette figure vous devriez pouvoir montrer rapidement la partie 2. Pour la partie 3, utiliser la partie 2 pour montrer que le point M se trouve à égale distance des trois sommets A, B et C.

Exercice 10. Souvent, pour résoudre un exercice, c’est une bonne idée de supposer que le problème est résolu. Pour un exercice de construction de figures géométriques, cela signifie qu’on va faire un croquis de la figure à construire (on suppose donc qu’on l’a déjà construite!). Les observations que l’on pourra faire sur ce croquis serviront alors à comprendre les propriétés de la figure et nous guideront ensuite vers la marche-à-suivre (à la règle et au compas). Je vous demande dans chaque cas de rédiger soigneuseument une marche-à-suivre, point par point, chaque point de la construction sur une ligne.

Exercice 12. Un élève a posé la question suivante: Pour le (a), j’ai trouvé seulement un quadrilatère, qui correspond au (b) (il a un centre de symétrie). Donc existe-t-il un quadrilatère qui a les propriétés du (a), mais pas de centre de symétrie ? Et pour le (b), doit-on justifier la réponse à la question « Est-il simple ? »

On pourrait effectivement dessiner deux fois le même quadrilatère, mais l’idée est d’en trouver deux différents! Je vous propose de réfléchir à la question « est-il simple? », à prendre comme une indication (voir ci-dessous après si ce n’est pas assez clair). Pour la justification, comme je vous demande un exemple, il suffit de se baser sur l’observation de votre exemple.
Spoiler: Le premier peut être simple, mais sans admettre un centre de symétrie. L’une des caractérisations des parallélogrammes que nous avons vue en cours nous indique comment tracer deux côtés opposés isométriques. Pour trouver un exemple pour le deuxième (deux côtés isométriques avec un centre de symétrie)  il faudra probablement choisir un quadrilatère non simple!

Cours 30 du 15 mai

Le film de cette semaine permet de comprendre pourquoi les médianes d’un triangle se coupent en un point, le centre de gravité. Il n’est pas nécessaire de prendre des notes pour les sept premières du film car les explications sur les segments moyens font l’objet d’un exercice dans la Série 31, mais suivez bien les explications, elles vous seront utiles! La démonstration du Théorème 5.1 est à recopier dans vos cahiers, la première partie avec une illustration soignée à la règle est à faire en page 46 et la fin en page 47. L’argument est subtil, préparez vos questions pour le cours de mercredi!

Serie29 du 2 mai

Exercice 8. Partie 2. On suppose que les triangles ABC et A’B’C’ sont isocèles en A (respectivement A’). Les angles en A et A‘ sont isométriques et les hauteurs [AM] et [A’M’] sont isométriques. Les points M et M‘ sont les pieds des hauteurs issues de A et de A‘ respectivement. Pour montrer que les triangles sont isométriques je vous propose de regarder les triangles rectangles BAM et B’A’M’. Y a-t-il un cas d’isométrie des triangles que nous pouvons appliquer pour conclure que ces triangles-là sont isométriques?

Exercice 10. Pour écrire les marches-à-suivre il n’est pas nécessaire de détailler la construction d’une bissectrice, d’une médiatrice, de la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point. Ces constructions ont été vues cet hiver et il suffira par exemple de commencer la première marche-à-suivre en disant que l’on construit la bissectrice de l’angle donné.

Exercice 11. J’espère que tout le monde a trouvé les bons triangles isocèles pour résoudre ce « problème des allumettes »! Il y en a des petits et des grands, parfois les angles sont les mêmes…

Exercice 12. On étudie dans cet exercice un triangle ayant deux hauteurs isométriques, comme sur l’illustration suivante où les hauteurs [BH] et [CK] ont même longueur. Nous devons en déduire que le triangle ABC est isocèle, ici en A, c’est-à-dire que les côtés [AB] et [AC] sont isométriques.

Je vous propose de trouver parmi les triangles de cette illustration deux triangles, l’un ayant [AB] pour côté, l’autre [AC], et qui sont isométriques par un cas d’isométrie des triangles. Il faudra bien sûr utiliser les hypothèses!

Cours 29 du 8 mai

Cette semaine nous parlons du centre de symétrie d’un parallélogramme (Proposition 3.3). A voir et comprendre pour pouvoir maîtriser la démonstration lorsque nous la referons en classe. La première minute parle de l’illustration que vous devez faire dans vos fascicules à la page 29, la suite, minutes 1′-6’30 », présente la démonstration de la première partie de la proposition, vous pouvez éventuellement faire le dessin en regard du bas de la page 29 pour mieux suivre les explications. Enfin la fin du film, minutes 6’30 »-10’30 », est à écrire dans l’espace prévu sur la page 30. J’expliquerai en classe les idées de la preuve sans tout écrire.

Serie28 du 1er mai

Exercice 3. La partie 2 est la plus ardue, mais aussi la plus intéressante! L’idée est d’écrire les deux isométries (préservant toutes deux l’orientation des angles) comme compositions de deux symétries axiales. L’astuce est d’utiliser deux fois le même axe d de sorte à faire apparaître Sd o Sd lorsqu’on calcule la (quadruple) composition. Pour justifier ce choix, il faut se souvenir qu’une rotation est une composition de deux symétries dont les axes passent par le centre de rotation et que l’on peut choisir n’importe quelle droite passant par le centre comme premier axe (et alors le second est uniquement déterminé par la rotation) et qu’une translation  est une composition de deux symétries dont les deux axes sont perpendiculaires à la direction de la translation et que l’on peut choisir parmi celles-ci n’importe laquelle comme deuxième axe (et alors le premier est uniquement déterminé par la translation).

Exercice 4. Pour comprendre quelle isométrie est décrite comme composition de trois symétries axiales dans les cas proposés, on pourra considérer la composition f=Sb o Sa et choisir astucieusement un autre axe de symétrie d pour écrire cette même isométrie f comme composition de deux autres symétries axiales! Par exemple, lorsque les axes a, b et c sont parallèles on choisira d’écrire la translation f comme Sc o Sd puisque l’on peut choisir l’axe de la deuxième symétrie arbitrairement parmi les droites perpendiculaires à la direction de la translation. L’axe d est alors imposé. Nous avons calculé Sc o Sb o Sa en classe à l’aide de cette astuce!

Exercice 5. Comme dit en classe à certains d’entre vous, lorsqu’on parle de contre-exemple, on demande un contre-exemple concret. Il vaut donc mieux donner un triangle en expliquant de quel genre de triangle il s’agit (rectangle, isocèle?) et en indiquant les longueurs de ses côtés et les mesures des angles (par exemple 45, 45 et 90 degrés, plutôt que de dire 90, et des angles µ et ß sans préciser ce que c’est). Ce sera alors plus facile aussi d’expliquer pourquoi les deux triangles choisis ne sont pas isométriques. Un dessin imprécis qui semble montrer que l’affirmation est fausse n’est pas une preuve!

Cours 28 du 1er mai

Il y a deux vidéos cette semaine. La première dure 11 minutes et concerne le deuxième cas d’isomorphisme des triangles. Nous avons traité le premier cas en classe, et ne reviendrons pas sur le deuxième (à moins que vous ayez des questions), regardez donc cela attentivement.

La deuxième vidéo dure 10 minutes et présente deux critères qui permettent de reconnaître un triangle isocèle. Prenez des notes de la démonstration qui prendra une bonne moitié de la page 22 dans votre fascicule!

Serie27 du 10 avril

Exercice 1. Il s’agit de suivre la marche à suivre déterminée dans la preuve du Théorème de classification des isométries. Pour transformer A en A’ on utilise en général la symétrie axiale dont l’axe est la médiatrice du segment [AA’]. Comme cela n’a pas de sens quand A=A’ on utilise par exemple l’axe AB. Au point (iii) il faut corriger C en C’.

L’un de vous demande: « Je ne comprends pas comment la symétrie Sc peut fixer A’ et B’ dans le point (iii). Je vois comment construire un axe de symétrie transformant C2 en C’ mais il me semble que cet axe ne passe ni par A’, ni par B’. Aussi, dans le point (ii), je vois que l’axe b passe par le point A’ mais je ne sais pas comment le démontrer. »

Commençons par le commencement et parlons donc du point (ii), le point (iii) est en tous points similaire et ce sera un bon exercice de le rédiger soigneusement une fois que (ii) aura été compris.

Situation: nous avons réussi à envoyer A sur A’ par une symétrie axiale Sa et pour continuer nous décidons en général (sauf si B1=B’) de choisir pour b la médiatrice de [B1B’]B1 est l’image par Sa du point B. En effet  par définition de la médiatrice on a bien que Sb envoie B1 sur B’.

Question: pourquoi A’ ne bouge plus dès maintenant, c’est-à-dire pourquoi A’ appartient à la droite b?

Réponse: D’une part la symétrie Sa est une isométrie, elle conserve les distances, si bien que d(A, B) = d(Sa(A), Sa(B)) = d(A’, B1).

D’autre part f est une isométrie et donc d(A, B) = d(A’, B’). Par transitivité de l’égalité on en déduit que d(A’, B1) = d(A’, B’).

Ahhh! Tonnerre de Brest! La caractérisation de la médiatrice affirme que b est le lieu géométrique des points équidistants de B1 et B’. C’est justement le cas de A’! Par conséquent A’ appartient à b.

Je pense que la fin de l’exercice ne devrait plus poser trop de problèmes maintenant!

Exercice 2. L’idée est celle que nous avons utilisé avec succès plusieurs fois déjà: pour composer deux isométries on les décompose en composition de symétries axiales et on essaie de choisir le deuxième axe de la première égal au premier axe de la seconde de sorte à ce que la quadruple composition se simplifie en une composition de deux symétries seulement (puisque SaoSa = Id).

Exercice 4.Vous avez le droit au rapporteur pour construire cette rotation! Au vu des informations données, on ne connaît pas le centre de rotation Oimmédiatement… Par contre on sait qu’il se trouve à égale distance de Aet A’,n’est-ce pas? On connaît aussi l’angle de rotation, 50 degrés. Avec ces indications vous devriez pouvoir construire le triangle OAA’!

Cours 27 du 10 avril

Pour reprendre la géométrie vous pouvez revoir le film sur les axiomes de connexion. Même si les exemples de géométrie de connexion qui sont présentés dans cette vidéo ne sont pas des modèles de la géométrie euclidienne, ils vous permettront peut-être de vous souvenir qu’il ne faut pas se fier à son intuition, mais baser un raisonnement sur les axiomes et les théorèmes déjà démontrés. J’aimerais aussi que vous relisiez les pages 3-9 du nouveau fascicule, ils ne concernent que ce que nous avons déjà étudié ensemble cet hiver et révisé rapidement en cours le mercredi 3 avril. Nous y reviendrons rapidement en classe pour répondre à vos questions et compléter les explications. Le film de 11 minutes de cette semaine concerne les translations, la seule section du chapitre 1 du fascicule IV de géométrie que nous n’avons pas étudié en classe. Recopiez la démonstration dans à la page 10 sans oublier de compléter l’illustration.

Attention

Les indications qui suivent datent de 2018! Elles vont être actualisées cette année!

Série 36 du 26 juin

Exercice 4. Pour calculer l’aire des hexagones, il suffit d’en calculer une! Et pour cela on pourra par exemple couper l’hexagone ABCDEF en plusieurs triangles, puis utiliser l’axiome de découpage.

Exercice 5. Deux figures géométriques sont semblables s’il existe une similitude qui transforme l’une en l’autre. Il s’agit donc de trouver une similitude qui permet de transformer un cercle donné en un autre cercle arbitraire.